5.1 Jednotlivé věty

Předtím, než budeme moci analyzovat argumenty pomocí pravdivostních tabulek, musíme vědět, jak sestavit pravdivostní tabulky pro jednotlivé věty. Začněme pravdivostní tabulkou pro negaci. Nejprve napište na začátek formuli, kterou budeme analyzovat.

\

Vlevo od formule vypište písmena jednoduché věty v abecedním pořadí. V tomto případě máme pouze jedno písmeno věty.

\

Nyní pod tím vším nakreslete vodorovnou čáru a svislou čáru oddělující formuli od písmen věty takto:

\

Dalším krokem je vypsat všechny možné kombinace pravdivostních hodnot písmen jednoduché věty. V tomto případě máme k dispozici pouze jedno písmeno a může být buď pravdivé, nebo nepravdivé.

\

Nakonec vyplňte pravdivostní hodnoty vzorce pro každý řádek vzhledem k pravdivostním hodnotám jednoduchých vět na daném řádku. Protože negace pouze mění pravdivostní hodnotu jednoduché věty, bude naše pravdivostní tabulka vypadat takto:

\

Nyní sestavíme pravdivostní tabulku pro konjunkci. Opět napíšeme vzorec nahoru:

\

Na levé straně pak napíšeme písmeno jednoduché věty a nakreslíme čáry:

\

Dále musíme napsat všechny různé možné kombinace pravdivostních hodnot těchto písmen jednoduché věty. Nejprve mohou být obě pravdivá.

\

Poté může být \(P\) pravdivé a \(Q\) nepravdivé.

\

Pro další řádek může být \(P\) nepravdivé a \(Q\) pravdivé.

\

Nakonec by mohly být obě nepravdivé.

\

Nyní už jen doplníme zbytek. Konjunkce je pravdivá, když jsou obě konjunkce pravdivé, a nepravdivá v opačném případě, Takže doplněná pravdivostní tabulka vypadá takto:

\

Tady je pravdivostní tabulka pro disjunkci. Nezapomeňte, že disjunkce jsou pravdivé, když je pravdivý alespoň jeden disjunkt, a nepravdivé v opačném případě. Disjunkce je tedy nepravdivá pouze na dolním řádku.

\

Takto vypadá pravdivostní tabulka pro kondicionál. Podmínky jsou nepravdivé vždy, když je antecedent pravdivý a závěr nepravdivý, ale jsou pravdivé kdykoli jindy.

\

Nakonec zde je pravdivostní tabulka pro dvojpodmínku. Dvoupodmínky jsou pravdivé vždy, když mají obě strany stejnou pravdivostní hodnotu. To bude první řádek, kde jsou obě pravdivé, a poslední řádek, kde jsou obě nepravdivé.

\

Provedeme jednu, která je o něco delší. Zde je pravdivostní tabulka pro \(P \mathbin{\&}. (Q \vee R)\):

Přejdeme k zápisu vzorce a písmen věty a nakreslíme čáry.

\

Čím jsou tabulky větší, tím je obtížnější vyplnit kombinace pravdivostních hodnot písmen věty. Když se dělá celý řádek najednou, je snadné nějakou kombinaci vynechat. Nejlepší je to dělat po celých sloupcích. Začněte nejpravějším sloupcem a střídejte T a F.

\

Pak přejděte do dalšího sloupce vlevo. Zde střídejte dvojice T a dvojice F.

Možná už vidíte vzorec. Pak se přesuneme do dalšího sloupce a vložíme čtyři T a čtyři F.

Všimněte si, že máme osm řádků. Kdyby byly čtyři různé jednoduché věty, měli bychom jich šestnáct, třicet dva pro pět a tak dále. Obecný vzorec zní takto: je-li n jednoduchých vět, pak bude 2n řádků.

Dále doplníme zbytek pravdivostní tabulky. U delších tabulek může být jednodušší nejprve opsat sloupce s písmeny vět, například takto:

\

Poté začneme pracovat uvnitř závorek. Protože se jedná o disjunkci, bude pravdivá vždy, když bude pravdivé alespoň jedno z Q a R, a nepravdivá, když budou obě nepravdivá.

\

Nyní můžeme ignorovat sloupce pod Q a R. Soustředíme se na P a sloupec pod symbolem disjunkce. Pro přehlednost odstraním ostatní.

\

Nyní doplníme sloupec pro konjunkci. Ta je pravdivá vždy, když jsou pravdivé \(P\) a \(Q \vee R\).

\

Koneckonců sloupec, který mě opravdu zajímá, je ten pod hlavní spojkou. Udělám ho tučně, aby to bylo jasné. Naše kompletní pravdivostní tabulka se všemi sloupci vypadá takto:

Všimněte si, že ve sloupci pod hlavním konektorem je směs T a F. Všimněte si, že ve sloupci pod hlavním konektorem je směs T a F. Všimněte si, že ve sloupci pod hlavním konektorem je směs T. Tomu se říká kontingence. Kontingentní výrok je v některých řádcích pravdivý a v jiných nepravdivý. Některé věty jsou pravdivé na všech řádcích. Říká se jim tautologie. Zde je jednoduchý příklad:

\

Pokud má věta na každém řádku tabulky F, je to kontradikce.

\

Tautologie nemohou být nepravdivé, kontradikce nemohou být pravdivé a kontingence mohou být pravdivé nebo nepravdivé.

Kontingence mohou být pravdivé nebo nepravdivé.