5.1 Enkeltstående sætninger
Hvor vi kan analysere argumenter med sandhedstabeller, skal vi vide, hvordan man konstruerer sandhedstabeller for enkeltstående sætninger. Lad os begynde med en sandhedstabel for negationen. Skriv først den formel, der skal analyseres, øverst.
\
Til venstre for formlen skal du opregne de enkle sætningsbogstaver i alfabetisk rækkefølge. I dette tilfælde har vi kun ét sætningsbogstav.
\
Tegn nu en vandret linje under det hele og en lodret linje, der adskiller formlen fra sætningsbogstaverne, på denne måde:
Det næste skridt er at opregne alle de mulige kombinationer af sandhedsværdierne af de simple sætningsbogstaver. I dette tilfælde har vi kun ét bogstav, og det kan enten være sandt eller falsk.
\
Slutteligt udfyldes formlens sandhedsværdier for hver linje, givet sandhedsværdierne for de simple sætninger på den pågældende linje. Da negationen blot ændrer sandhedsværdien af den simple sætning, vil vores sandhedstabel se således ud:
Nu skal vi konstruere en sandhedstabel for en konjunktion. Igen skriver vi formlen øverst:
\
Vi skriver derefter den simple sætnings bogstav til venstre og tegner linjerne:
\
Næst skal vi skrive alle de forskellige mulige kombinationer af sandhedsværdierne for disse simple sætningsbogstaver. Først kunne de begge være sande.
\
Dernæst kunne \(P\) være sandt og \(Q\) falsk.
\
For den næste linje kunne \(P\) være falsk og \(Q\) sandt.
\
Sidst kunne de begge være falske.
\
Nu skal vi bare udfylde resten. Konjunktionen er sand, når begge konjunktioner er sande, og falsk ellers, Så den færdige sandhedstabel ser således ud.
\
Her er sandhedstabellen for disjunktionen. Husk, at disjunktioner er sande, når mindst én disjunktion er sand, og ellers er de falske. Så disjunktionen er kun falsk på den nederste linje.
\
Det er sådan sandhedstabellen for betingelsen ser ud. Konditionaler er falske, når antecedenten er sand og konklusionen falsk, men de er sande alle andre gange.
Sidst er her sandhedstabellen for bikonditionalen. Bikonditionaler er sande, når begge sider har den samme sandhedsværdi. Det vil være den første linje, hvor de begge er sande, og den sidste linje, hvor de begge er falske.
Lad os lave en, der er lidt længere. Her er en sandhedstabel for \(P \mathbin{\
Vi går videre og skriver formlen og sætningsbogstaverne og tegner linjerne.
\
Det bliver vanskeligere at udfylde kombinationerne af sandhedsværdier for sætningsbogstaverne, efterhånden som tabellerne bliver større. Hvis man laver en hel række ad gangen, er det let at overse en kombination. Den bedste måde er at gøre det en hel kolonne ad gangen. Start med kolonnen længst til højre, og skift T’er og F’er ud på skift.
\
Så går du videre til den næste kolonne til venstre. Her veksler du mellem par T’er og par F’er.
\
Måske kan du se mønsteret nu. Vi går så til den næste kolonne og sætter fire T’er og fire F’er.
Bemærk, at vi har otte rækker. Hvis der var fire forskellige enkle sætninger, ville vi have seksten, toogtredive for fem og så videre. Den generelle formel er denne: Hvis der er n simple sætninger, vil der være 2n rækker.
Næst udfylder vi resten af sandhedstabellen. Ved længere tabeller kan det være nemmere først at kopiere kolonnerne med sætningsbogstaverne, som her:
\
Dernæst begynder vi at arbejde inden for parenteserne. Da det er en disjunktion, vil den være sand, når mindst en af Q og R er sand, og falsk, når de begge er falske.
Nu kan vi se bort fra kolonnerne under Q og R. Vi fokuserer på P og kolonnen under disjunktionssymbolet. For at gøre det klart, fjerner jeg de andre.
\
Nu udfylder vi kolonnen for konjunktionen. Den er sand, når \(P\) og \(Q \vee R\) begge er sande.
\
I sidste ende er den kolonne, som jeg virkelig er interesseret i, den under hovedkonjunktiv. Jeg vil gøre den fed for at være tydelig. Vores komplette sandhedstabel med alle kolonnerne ser således ud:
\
Bemærk, at kolonnen under hovedkonnekset har en blanding af T’er og F’er. Dette kaldes en tilfældighed. Et kontingent udsagn er sandt på nogle rækker og falsk på andre rækker. Nogle sætninger er sande på alle rækker. De kaldes tautologier. Her er et simpelt eksempel:
\
Hvis en sætning har et F på alle rækker i tabellen, er det en modsigelse.
Tautologier kan umuligt være falske, modsigelser kan umuligt være sande, og kontingenser kan være sande eller falske.