5.1 Yksittäiset lauseet

Ennen kuin pystymme analysoimaan väitteitä totuustaulukoiden avulla, meidän on tiedettävä, miten totuustaulukot rakennetaan yksittäisille lauseille. Aloitetaan negaation totuustaulukolla. Kirjoita ensin analysoitava kaava yläreunaan.

\

Luetteloi kaavan vasemmalle puolelle yksinkertaisen lauseen kirjaimet aakkosjärjestyksessä. Tässä tapauksessa meillä on vain yksi lauseen kirjain.

\

Piirrä nyt vaakasuora viiva kaiken tämän alle ja pystysuora viiva, joka erottaa kaavan lauseen kirjaimista, näin:

\

Seuraavaksi luetellaan kaikki yksinkertaisten lauseen kirjainten totuusarvojen mahdolliset yhdistelmät. Tässä tapauksessa meillä on vain yksi kirjain, ja se voi olla joko tosi tai epätosi.

\\

Viimeiseksi täytetään kaavan totuusarvot jokaiselle riville, kun otetaan huomioon kyseisellä rivillä olevien yksinkertaisten lauseiden totuusarvot. Koska negaatio vain muuttaa yksinkertaisen lauseen totuusarvoa, totuustaulukkomme näyttää tältä:

\

Konstruoidaan nyt totuustaulukko konjunktiolle. Kirjoitamme taas kaavan yläreunaan:

\\

Kirjoitamme sitten yksinkertaisen lauseen kirjaimen vasemmalle ja piirrämme viivat.

\

Seuraavaksi meidän on kirjoitettava kaikki näiden yksinkertaisten lauseiden kirjainten totuusarvojen eri mahdolliset yhdistelmät. Ensin ne voisivat molemmat olla totta.

\

Silloin \(P\) voisi olla totta ja \(Q\) epätotta.

\

Seuraavalla rivillä \(P\) voisi olla epätotta ja \(Q\) totta.

\

Viimeiseksi ne voisivat molemmat olla epätosia.

\

Nyt täytetään vain loput. Konjunktio on tosi, kun molemmat konjunktiot ovat tosi, ja muuten epätosi, Täytetty totuustaulukko näyttää siis tältä.

\\

Tässä on disjunktion totuustaulukko. Muista, että disjunktiot ovat tosia, kun vähintään yksi disjunktio on tosi, ja muuten vääriä. Disjunktio on siis väärä vain alarivillä.

\

Tältä näyttää ehdollisen totuustaulukko. Konditionaalit ovat vääriä aina, kun antecedentti on tosi ja konkluusio on väärä, mutta ne ovat tosia muulloin.

\\\

Viimeiseksi, tässä on bikonditionaalin totuustaulukko. Bikonditionaalit ovat totta aina, kun molemmilla puolilla on sama totuusarvo. Se on ensimmäinen rivi, jossa molemmat ovat totta, ja viimeinen rivi, jossa molemmat ovat epätosia.

\\

Tehdään nyt yksi, joka on hieman pidempi. Tässä on totuustaulukko \(P \mathbin{\

Kirjoitetaan kaava ja lauseen kirjaimet ja piirretään viivat.

\

Taulukoiden kasvaessa suuremmiksi tulee vaikeammaksi täyttää lauseen kirjainten totuusarvojen yhdistelmiä. Kun tehdään yksi kokonainen rivi kerrallaan, jää helposti jokin yhdistelmä täyttämättä. Paras tapa on tehdä se kokonainen sarake kerrallaan. Aloita oikeanpuoleisimmasta sarakkeesta ja vaihda vuorotellen T:tä ja F:ää.

\

Siirry sitten seuraavaan vasemmalla olevaan sarakkeeseen. Vuorottele tässä T- ja F-pareja.

\

Voi olla, että näet nyt kuvion. Siirrytään sitten seuraavaan sarakkeeseen ja laitetaan neljä T:tä ja neljä F:ää.

\

Huomaa, että meillä on kahdeksan riviä. Jos erilaisia yksinkertaisia lauseita olisi neljä, meillä olisi kuusitoista, kolmekymmentäkaksi viidelle ja niin edelleen. Yleinen kaava on tämä: jos yksinkertaisia lauseita on n, niin rivejä on 2n.

Seuraavaksi täytämme loput totuustaulukosta. Pidempien taulukoiden kohdalla voi olla helpompaa kopioida ensin lauseen kirjainten sarakkeet, esimerkiksi näin:

\

Sitten aloitamme työskentelyn sulkujen sisällä. Koska kyseessä on disjunktio, se on tosi aina, kun vähintään jompikumpi Q:sta ja R:stä on tosi, ja epätosi, kun molemmat ovat epätosia.

\\

Nyt voimme jättää huomiotta Q:n ja R:n alla olevat sarakkeet. Keskitymme P:hen ja disjunktiosymbolin alla olevaan sarakkeeseen. Selvyyden vuoksi poistan muut.

\

Nyt täydennämme konjunktion sarakkeen. Se on tosi aina kun \(P\) ja \(Q \vee R\) ovat molemmat tosi.

\

Viime kädessä sarake, joka minua oikeasti kiinnostaa, on pääkonnektiivin alla oleva sarake. Lihavoin sen selvyyden vuoksi. Täydellinen totuustaulukkomme kaikkine sarakkeineen näyttää tältä:

\

Huomaa, että pääkonnektiivin sarakkeessa on sekaisin T:tä ja F:ää. Tätä kutsutaan kontingenssiksi. Kontingenttilause on joillakin riveillä tosi ja toisilla riveillä epätosi. Jotkut lauseet ovat totta kaikilla riveillä. Niitä kutsutaan tautologioiksi. Tässä on yksinkertainen esimerkki:

\

Jos lauseen jokaisella rivillä on F, se on ristiriita.

\

Tautologiat eivät voi mitenkään olla vääriä, ristiriidat eivät voi mitenkään olla tosia, ja kontingenssit voivat olla tosia tai vääriä.