5.1 Frases Individuais

Antes de podermos analisar argumentos com tabelas de verdade, precisamos saber como construir tabelas de verdade para frases individuais. Vamos começar com uma tabela de verdade para a negação. Primeiro, escreva a fórmula a ser analisada no topo.

À esquerda da fórmula, liste as letras simples das frases em ordem alfabética. Neste caso, temos apenas uma letra de frase.

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Agora desenhe uma linha horizontal debaixo de tudo isso, e uma linha vertical separando a fórmula das letras da frase, assim:

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> O próximo passo é listar todas as combinações possíveis de valores de verdade das letras simples da frase. Neste caso, temos apenas uma letra, e podemos ser verdadeiros ou falsos.

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Finalmente, preencha os valores de verdade da fórmula para cada linha, dados os valores de verdade das frases simples naquela linha. Como a negação apenas muda o valor de verdade da frase simples, a nossa tabela de verdade ficará assim:

\\\

>Agora, vamos construir uma tabela de verdade para uma conjunção. Novamente, vamos escrever a fórmula no topo:

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>Passamos a letra da frase simples para a esquerda, e desenhamos as linhas.

\\\

Próximo, precisamos escrever todas as diferentes combinações possíveis de valores de verdade dessas simples letras de frase. Primeiro, ambas poderiam ser verdadeiras. 6064

6917> 664

Então, P

P

P

P

P

Para a próxima linha, P

P

P

P

Pode ser falso e verdadeiro.

>

Poderiam ser ambos falsos.

>

>

Agora, nós apenas preenchemos o resto. A conjunção é verdadeira quando ambos os conjuntos são verdadeiros, e falsos de outra forma, Então, a tabela da verdade completa se parece com isto.

>

>

Aqui está a tabela da verdade para a disjunção. Lembre-se que as disjunções são verdadeiras quando pelo menos uma disjunção é verdadeira, e falsa de outra forma. Portanto, a disjunção só é falsa na linha de fundo.

Esta é a tabela da verdade para o condicional. Condicionais são falsos sempre que o antecedente é verdadeiro e a conclusão é falsa, mas eles são verdadeiros em qualquer outro momento.

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Finalmente, aqui está a tabela da verdade para o bicondicional. Os bicondicionais são verdadeiros sempre que ambos os lados têm o mesmo valor de verdade. Essa será a primeira linha, onde ambos são verdadeiros, e a última linha, onde ambos são falsos.

\\\\\\\\\i

Vamos fazer uma que seja ligeiramente mais longa. Aqui está uma tabela da verdade para o “leito de morte” (P&>) (P \vee R)\):

Vamos em frente e escrevemos a fórmula e as letras das frases, e desenhamos as linhas.

Fica mais difícil preencher as combinações de valores de verdade para as letras das frases à medida que as tabelas ficam maiores. Feito uma linha inteira de cada vez, é fácil perder uma combinação. A melhor maneira é fazer uma coluna inteira de cada vez. Comece com a coluna mais à direita, e alterne T’s e F’s.

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>Então, passe para a coluna seguinte à esquerda. Aqui, alternar pares de T’s e pares de F’s.

Talvez você possa ver o padrão agora. Vamos então passar para a próxima coluna e colocar quatro T’s e quatro F’s.

>

Nota que temos oito filas. Se houvesse quatro frases simples diferentes, teríamos dezasseis, trinta e dois para cinco, e assim por diante. A fórmula geral é a seguinte: se houver n frases simples, então haverá 2n filas.

Próximo, nós preenchemos o resto da tabela da verdade. Com tabelas mais longas, pode ser mais fácil copiar primeiro as colunas das letras das frases, assim:

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>A seguir, começamos a trabalhar dentro dos parênteses. Como é uma disjunção, ela será verdadeira sempre que pelo menos uma das colunas Q e R for verdadeira, e falsa quando ambas forem falsas.

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Agora, podemos ignorar as colunas sob Q e R. Estamos focados em P e a coluna sob o símbolo da disjunção. Para deixar claro, vou remover as outras.

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Agora, completamos a coluna para a conjunção. É verdade sempre que P e Q são ambos verdadeiros.

>Ultimamente, a coluna que estou realmente interessado é a que está por baixo do conectivo principal. Vou fazer com que seja ousado ser claro. A nossa tabela da verdade completa com todas as colunas é assim:

Notem que a coluna do conectivo principal tem uma mistura de T’s e F’s. Isto é chamado de contingência. Uma declaração contingente é verdadeira em algumas filas e falsa em outras. Algumas sentenças são verdadeiras em todas as linhas. Elas são chamadas de tautologias. Aqui está um exemplo simples:

Se uma frase tem um F em cada linha da tabela, é uma contradição.

Tautologias não podem ser falsas, as contradições não podem ser verdadeiras, e as contingências podem ser verdadeiras ou falsas.