5.1 Phrases simples

Avant de pouvoir analyser des arguments avec des tables de vérité, nous devons savoir comment construire des tables de vérité pour des phrases simples. Commençons par une table de vérité pour la négation. Tout d’abord, écrivez la formule à analyser en haut.

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À la gauche de la formule, listez les lettres de la phrase simple par ordre alphabétique. Dans ce cas, nous n’avons qu’une seule lettre de phrase.

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Puis tracez une ligne horizontale en dessous de tout cela, et une ligne verticale séparant la formule des lettres de phrase, comme ceci :

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L’étape suivante consiste à énumérer toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des lettres de phrase simples. Dans ce cas, nous n’avons qu’une seule lettre, et elle peut être soit vraie soit fausse.

Enfin, remplissez les valeurs de vérité de la formule pour chaque ligne, étant donné les valeurs de vérité des phrases simples sur cette ligne. Puisque la négation change simplement la valeur de vérité de la phrase simple, notre table de vérité ressemblera à ceci :

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Maintenant, construisons une table de vérité pour une conjonction. Encore une fois, nous écrirons la formule en haut :

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Nous écrirons ensuite la lettre de la phrase simple à gauche, et nous tracerons les lignes.

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Puis, nous devons écrire toutes les différentes combinaisons possibles de valeurs de vérité de ces lettres de phrases simples. D’abord, elles pourraient toutes deux être vraies.

Puis, \(P\) pourrait être vrai et \(Q\) faux.

Pour la ligne suivante, \(P\) pourrait être faux et \(Q\) vrai.

Enfin, ils pourraient tous les deux être faux.

Maintenant, nous n’avons qu’à remplir le reste. La conjonction est vraie lorsque les deux conjonctives sont vraies, et fausse sinon, Donc, la table de vérité complétée ressemble à ceci.

Voici la table de vérité pour la disjonction. Rappelez-vous que les disjonctions sont vraies lorsqu’au moins une disjonction est vraie, et fausses sinon. Donc, la disjonction est seulement fausse sur la ligne du bas.

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Voici à quoi ressemble la table de vérité pour le conditionnel. Les conditionnels sont faux chaque fois que l’antécédent est vrai et que la conclusion est fausse, mais ils sont vrais à tout autre moment.

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Enfin, voici la table de vérité du biconditionnel. Les biconditionnels sont vrais chaque fois que les deux côtés ont la même valeur de vérité. Ce sera la première ligne, où ils sont tous deux vrais, et la dernière ligne, où ils sont tous deux faux.

Faisons-en une qui est légèrement plus longue. Voici une table de vérité pour \(P \mathbin{\&} (Q \vee R)\):

Nous allons écrire la formule et les lettres de la phrase, et tracer les lignes.

Il devient plus difficile de remplir les combinaisons de valeurs de vérité pour les lettres de la phrase au fur et à mesure que les tables s’agrandissent. Fait une ligne entière à la fois, il est facile de manquer une combinaison. La meilleure façon de procéder est de le faire une colonne entière à la fois. Commencez par la colonne la plus à droite, et alternez les T et les F.

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Puis, passez à la colonne suivante à gauche. Ici, alternez les paires de T et les paires de F.

Peut-être pouvez-vous voir le modèle maintenant. Nous allons ensuite passer à la colonne suivante et mettre quatre T et quatre F.

Notez que nous avons huit rangées. S’il y avait quatre phrases simples différentes, nous en aurions seize, trente-deux pour cinq, et ainsi de suite. La formule générale est la suivante : s’il y a n phrases simples, alors il y aura 2n rangées.

Puis, nous remplissons le reste de la table de vérité. Avec des tableaux plus longs, il peut être plus facile de copier d’abord les colonnes des lettres de la phrase, comme ceci :

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Puis, on commence à travailler à l’intérieur des parenthèses. Puisqu’il s’agit d’une disjonction, elle sera vraie chaque fois qu’au moins l’un de Q et R est vrai, et fausse lorsqu’ils sont tous les deux faux.

Maintenant, nous pouvons ignorer les colonnes sous Q et R. Nous sommes concentrés sur P et la colonne sous le symbole de disjonction. Pour que ce soit clair, je vais enlever les autres.

Maintenant, nous complétons la colonne pour la conjonction. Elle est vraie chaque fois que \(P\) et \(Q \vee R\) sont toutes deux vraies.

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En fin de compte, la colonne qui m’intéresse vraiment est celle qui se trouve sous la conjonction principale. Je vais la mettre en gras pour être clair. Notre table de vérité complète avec toutes les colonnes ressemble à ceci:

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Notez que la colonne de la conjonction principale a un mélange de T et de F. Cela s’appelle une contingence. C’est ce qu’on appelle une contingence. Une phrase contingente est vraie sur certaines lignes et fausse sur d’autres. Certaines phrases sont vraies sur toutes les lignes. Elles sont appelées tautologies. Voici un exemple simple:

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Si une phrase a un F sur chaque ligne du tableau, c’est une contradiction.

Les tautologies ne peuvent pas être fausses, les contradictions ne peuvent pas être vraies, et les contingences peuvent être vraies ou fausses.