5.1 Egyetlen mondat

Mielőtt igazságtáblákkal elemezhetnénk érveket, tudnunk kell, hogyan kell igazságtáblákat készíteni egyetlen mondathoz. Kezdjük a tagadás igazságtáblázatával. Először is írjuk az elemzendő formulát a tetejére.

\

A képlet bal oldalán soroljuk fel az egyszerű mondatok betűit ábécé sorrendben. Ebben az esetben csak egy mondatbetűnk van.

\

Az egész alá húzzunk egy vízszintes vonalat, és a képletet a mondatbetűktől elválasztó függőleges vonalat, így:

\

A következő lépés az egyszerű mondatbetűk igazságértékeinek összes lehetséges kombinációjának felsorolása. Ebben az esetben csak egy betű van, és az lehet igaz vagy hamis.

\

Végül töltsük ki a képlet igazságértékeit minden sorban, az adott sorban lévő egyszerű mondatok igazságértékei alapján. Mivel a tagadás csak az egyszerű mondat igazságértékét változtatja meg, az igazságtáblázatunk így fog kinézni:

\

Most konstruáljunk igazságtáblázatot egy konjunkcióra. Ismét a képletet írjuk a tetejére:

\

Az egyszerű mondat betűjét írjuk balra, és húzzuk meg a vonalakat.

\

Ezután fel kell írnunk az egyszerű mondat betűinek igazságértékeinek minden lehetséges kombinációját. Először is, mindkettő lehet igaz.

\

Ezután \(P\) lehet igaz és \(Q\) hamis.

\

A következő sorban \(P\) lehet hamis és \(Q\) igaz.

\

Végül mindkettő lehet hamis.

\

Most már csak a többit kell kitölteni. A konjunkció igaz, ha mindkét konjunkció igaz, és hamis egyébként, Tehát a kitöltött igazságtábla így néz ki.

\\

Itt van a diszjunkció igazságtáblája. Ne feledjük, hogy a diszjunkciók akkor igazak, ha legalább az egyik diszjunkció igaz, egyébként pedig hamisak. Tehát a diszjunkció csak az alsó sorban hamis.

\

Így néz ki a feltételes feltétel igazságtáblája. A kondicionálisok hamisak, amikor az előfeltétel igaz és a következtetés hamis, de minden más alkalommal igazak.

\\\

Végül itt van a bikondicionális igazságtáblázata. A bikondíciók mindig igazak, amikor mindkét oldalnak ugyanaz az igazságértéke. Ez lesz az első sor, ahol mindkettő igaz, és az utolsó sor, ahol mindkettő hamis.

\\

Legyen egy kicsit hosszabb. Itt van egy igazságtáblázat a \(P \mathbin{\

Megyünk tovább, felírjuk a képletet és a mondatbetűket, és megrajzoljuk a vonalakat.

\

A tábla növekedésével egyre nehezebb kitölteni a mondatbetűk igazságértékeinek kombinációit. Egyszerre egy teljes sort elvégezve könnyen kihagyhatunk egy kombinációt. A legjobb megoldás, ha egyszerre egy egész oszlopot csinálunk. Kezdjük a jobb szélső oszloppal, és váltogassuk a T-ket és az F-eket.

\

Majd lépjünk a balra következő oszlopra. Itt váltogassuk a T- és F-párokat.

\

Már talán látod a mintát. Ezután a következő oszlopba lépünk, és négy T-t és négy F-et teszünk.

\

Megjegyezzük, hogy nyolc sorunk van. Ha négy különböző egyszerű mondat lenne, akkor tizenhat, ötnél harminckettő, és így tovább. Az általános képlet a következő: ha n egyszerű mondat van, akkor 2n sor lesz.

A következőkben kitöltjük az igazságtábla többi részét. Hosszabb táblázatoknál egyszerűbb lehet, ha először a mondatbetűk oszlopait másoljuk be, így:

\

Ezután kezdjük el a zárójelek belsejében dolgozni. Mivel diszjunkcióról van szó, igaz lesz, ha a Q és R közül legalább az egyik igaz, és hamis, ha mindkettő hamis.

\

Most már figyelmen kívül hagyhatjuk a Q és R alatti oszlopokat. A P-re és a diszjunkció szimbólum alatti oszlopra koncentrálunk. Az egyértelműség kedvéért a többit eltávolítom.

\

Most kiegészítjük a konjunkció oszlopát. Akkor igaz, ha \(P\) és \(Q \vee R\) egyaránt igaz.

\

Az oszlop, ami engem igazán érdekel, a fő kötőszó alatti oszlop. A könnyebb érthetőség kedvéért félkövérrel írom. A teljes igazságtáblánk az összes oszloppal így néz ki:

\

Figyeljük meg, hogy a fő kötőszó oszlopában T-k és F-ek keverednek. Ezt nevezzük kontingenciának. Egy kontingens állítás egyes sorokban igaz, más sorokban pedig hamis. Egyes mondatok minden sorban igazak. Ezeket tautológiáknak nevezzük. Íme egy egyszerű példa:

\

Ha egy mondatnak a táblázat minden sorában van F, akkor az ellentmondás.

\

Tautológiák nem lehetnek hamisak, ellentmondások nem lehetnek igazak, kontingenciák pedig lehetnek igazak vagy hamisak.

Tautológiák nem lehetnek hamisak.