5.1 Frasi singole

Prima di poter analizzare gli argomenti con le tabelle di verità, dobbiamo sapere come costruire tabelle di verità per frasi singole. Cominciamo con una tabella di verità per la negazione. Per prima cosa, scriviamo in alto la formula da analizzare.

A sinistra della formula, elenchiamo le lettere della frase semplice in ordine alfabetico. In questo caso, abbiamo solo una lettera di frase.

Poi traccia una linea orizzontale sotto tutto questo, e una linea verticale che separa la formula dalle lettere di frase, come questa:

Il prossimo passo è quello di elencare tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle lettere di frase semplici. In questo caso, abbiamo solo una lettera, e può essere vera o falsa.

Infine, compilate i valori di verità della formula per ogni riga, dati i valori di verità delle frasi semplici su quella riga. Poiché la negazione cambia solo il valore di verità della frase semplice, la nostra tabella di verità sarà come questa:

\

Ora, costruiamo una tabella di verità per una congiunzione. Ancora una volta, scriveremo la formula in alto:

\

Poi scriveremo la lettera della frase semplice a sinistra, e disegneremo le linee.

\

Poi, dobbiamo scrivere tutte le diverse possibili combinazioni dei valori di verità di quelle lettere della frase semplice. Prima, potrebbero essere entrambe vere.

Poi, \(P) potrebbe essere vero e \(Q) falso.

Per la prossima riga, \(P) potrebbe essere falso e \(Q) vero.

Infine, potrebbero essere entrambi falsi.

Ora, dobbiamo solo riempire il resto. La congiunzione è vera quando entrambi i congiunti sono veri, e falsa altrimenti, quindi la tabella di verità completata appare così.

Ecco la tabella di verità per la disgiunzione. Ricordate che le disgiunzioni sono vere quando almeno un disgiunto è vero, e false altrimenti. Quindi, la disgiunzione è falsa solo sulla linea di fondo.

Ecco come appare la tabella di verità per il condizionale. I condizionali sono falsi ogni volta che l’antecedente è vero e la conclusione è falsa, ma sono veri ogni altra volta.

Infine, ecco la tabella di verità per il bicondizionale. I bicondizionali sono veri ogni volta che entrambe le parti hanno lo stesso valore di verità. Questa sarà la prima riga, dove sono entrambe vere, e l’ultima riga, dove sono entrambe false.

Facciamo una che è leggermente più lunga. Ecco una tabella di verità per \(P \mathbin{&} (Q \vee R)\):

Andremo avanti e scriveremo la formula e le lettere della frase, e disegneremo le linee.

Diventa più difficile riempire le combinazioni dei valori di verità per le lettere della frase quando le tabelle diventano più grandi. Fatto un’intera riga alla volta, è facile perdere una combinazione. Il modo migliore è fare un’intera colonna alla volta. Inizia con la colonna più a destra, e alterna le T e le F.

Poi, passa alla colonna successiva a sinistra. Qui, alternate coppie di T e coppie di F.

Forse ora potete vedere lo schema. Poi passiamo alla colonna successiva e mettiamo quattro T e quattro F.

Nota che abbiamo otto righe. Se ci fossero quattro diverse frasi semplici, ne avremmo sedici, trentadue per cinque, e così via. La formula generale è questa: se ci sono n frasi semplici, allora ci saranno 2n righe.

Poi, riempiamo il resto della tabella della verità. Con tabelle più lunghe, può essere più facile copiare prima le colonne delle lettere della frase, in questo modo:

\

Poi, cominciamo a lavorare dentro le parentesi. Poiché è una disgiunzione, sarà vera ogni volta che almeno una di Q e R è vera, e falsa quando sono entrambe false.

Ora, possiamo ignorare le colonne sotto Q e R. Siamo concentrati su P e sulla colonna sotto il simbolo della disgiunzione. Per chiarire, rimuovo le altre.

\

Ora, completiamo la colonna per la congiunzione. È vera ogni volta che \(P\) e \(Q \vee R\) sono entrambi veri.

In definitiva, la colonna che mi interessa veramente è quella sotto il connettivo principale. La metterò in grassetto per essere chiaro. La nostra tabella di verità completa con tutte le colonne assomiglia a questa:

Nota che la colonna del connettivo principale ha un misto di T e F. Questa è chiamata contingenza. Una frase contingente è vera su alcune righe e falsa su altre. Alcune frasi sono vere su tutte le righe. Sono chiamate tautologie. Ecco un semplice esempio:

Se una frase ha una F su ogni riga della tabella, è una contraddizione.

Le tautologie non possono essere false, le contraddizioni non possono essere vere, e le contingenze possono essere vere o false.