5.1 単文

真実値表を使って議論を分析する前に、単文に対する真実値表の作成方法を知る必要があります。 まず、否定の真理値表から始めましょう。 まず、一番上に解析する式を書く。

式の左側に、単文の文字をアルファベット順に並べる。

のように、その下に横線を引き、縦線は式と文 字を分ける。 この場合、文字は1つだけで、真か偽のどちらかになる。

最後に、各行の単純文の真理値から、その行の式の真理値を記入する。 否定は単純文の真理値を変えるだけなので、真理値表は次のようになる。

では、接続詞の真理値表を作ってみることにしよう。 ここでも一番上に式を書く：

それから左側に単純文を書き、線を引く：

次に、それらの単純文の文字の真理値の異なる組み合わせをすべて書く必要がある。

Then, \(Penta) could be true and \(Qenta) false.

For the next line, \(Penta) could be false and \(Qenta) true.まず、両方とも真であることが考えられます。

Last, they could both be false.

Now, we just fill in the rest. 接続詞は両方が真なら真、そうでなければ偽となる。そこで、完成した真理値表は次のようになる。 接続詞は少なくとも1つの接続詞が真であれば真、そうでなければ偽であることを忘れないようにしよう。 つまり、ディスジャンクションが偽になるのは一番下の行だけである。

これがコンディショナの真理値表である。 条件文は先行詞が真で結論が偽のときは偽だが、それ以外のときは真である。

最後に二条件文の真理値表である。 二条件式は両辺が同じ真理値であればいつでも真である。 最初の行は両方とも真で、最後の行は両方とも偽になる。 これは \(P \mathbin{&}) の真理値表です。 (Q \e R)\):

先に式と文 字を書いて、線を引いておきます。

表が大きくなると、文 字の真理値の組み合わせを埋めるのは難しくなりますね。 行全体を一度に行うと、組み合わせを見逃しやすくなる。 一番良い方法は、列全体を一度に行うことです。 まず、一番右の列から始めて、TとFを交互に並べます。

そして、次の左の列に移動します。 ここでは、TのペアとFのペアを交互に並べる。

Maybe you can see the pattern now.

Note: There’s not noticed that we have eight rows. 単純文が4種類なら16個、5種類なら32個、といった具合です。 一般式はこうだ：もしn個の単純な文があれば、2n個の行がある。

次に、真理値表の残りを埋めるんだ。 長い表では、まず文の文字の列をコピーして、次のようにするのが簡単である：

\

Then, we start working inside the parenthes. これは論理和なので、QとRの少なくとも一方が真なら真、両方偽なら偽となる。

ここで、QとRの下の列は無視できる。

ここで、接続詞の列を完成させる。 It’s true whenever \(P) and \(Q \e R) is both true.

結局、本当に気になるのは主接合の下の欄です。 わかりやすいように太字にします。 全ての列を含む完全な真理値表は次のようになる：

主結合の列にはTとFが混在していることに注意すること。 これを偶発性と呼ぶ。 偶発文はある行では真で、他の行では偽である。 すべての行で真となる文もある。 これをトートロジーという。 以下は簡単な例である。

If a sentence has an F on every row of the table, it is a contradiction.

Tautologies can’t possibly be false, contradictions can’t possibly be true, and contingencies can be true or false.

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