5.1 Enkelvoudige zinnen

Voordat we argumenten met waarheidstabellen kunnen analyseren, moeten we weten hoe we waarheidstabellen voor enkelvoudige zinnen kunnen construeren. Laten we beginnen met een waarheidstabel voor de negatie. Schrijf eerst de te analyseren formule bovenaan.

Links van de formule zet je de eenvoudige zinsletters in alfabetische volgorde. In dit geval hebben we maar één zinsletter.

Teken nu een horizontale lijn onder dat alles, en een verticale lijn die de formule scheidt van de zinsletters, zoals dit:

De volgende stap is het opsommen van alle mogelijke combinaties van waarheidswaarden van de eenvoudige zinsletters. In dit geval hebben we maar één letter, en die kan waar of onwaar zijn.

Tot slot vult u voor elke regel de waarheidswaarden van de formule in, gegeven de waarheidswaarden van de enkelvoudige zinnen op die regel. Omdat de negatie alleen de waarheidswaarde van de enkelvoudige zin verandert, ziet onze waarheidstabel er als volgt uit:

Nu gaan we een waarheidstabel construeren voor een conjunctie. Ook hier schrijven we de formule bovenaan:

We schrijven dan de letter van de eenvoudige zin aan de linkerkant, en tekenen de lijnen.

Vervolgens moeten we alle verschillende mogelijke combinaties van waarheidswaarden van die letters van de eenvoudige zin opschrijven. Eerst kunnen ze allebei waar zijn.

Dan kan P waar zijn en Q onwaar.

Voor de volgende regel kan P onwaar zijn en Q waar.

Ten slotte kunnen ze allebei onwaar zijn.

Nu vullen we gewoon de rest in. De conjunctie is waar als beide conjuncten waar zijn, en anders onwaar. De ingevulde waarheidstabel ziet er dus zo uit.

Hier is de waarheidstabel voor de disjunctie. Onthoud dat disjuncties waar zijn als ten minste één disjunct waar is, en anders onwaar. Dus, de disjunctie is alleen onwaar op de onderste regel.

Zo ziet de waarheidstabel voor de voorwaardelijke eruit. Conditionelen zijn onwaar als het antecedent waar is en de conclusie onwaar, maar verder zijn ze altijd waar.

Tot slot volgt hier de waarheidstabel voor de biconditie. Bicondities zijn waar als beide kanten dezelfde waarheidswaarde hebben. Dat is de eerste regel, waar ze allebei waar zijn, en de laatste regel, waar ze allebei onwaar zijn.

Laten we er eens een doen die iets langer is. Hier is een waarheidstabel voor (P) (Q \vee R)

We schrijven de formule en de zinsletters, en tekenen de lijnen.

Het wordt moeilijker om de combinaties van waarheidswaarden voor de zinsletters in te vullen naarmate de tabellen groter worden. Als je een hele rij tegelijk doet, is het makkelijk om een combinatie te missen. De beste manier is om het per hele kolom te doen. Begin met de meest rechtse kolom, en wissel T’s en F’s af.

Ga dan naar de volgende kolom links. Wissel hier T’s en F’s af.

Misschien zie je het patroon nu. We gaan dan naar de volgende kolom en zetten daar vier T’s en vier F’s.

Merk op dat we acht rijen hebben. Als er vier verschillende enkelvoudige zinnen waren, zouden we er zestien hebben, tweeëndertig voor vijf, enzovoort. De algemene formule is deze: als er n eenvoudige zinnen zijn, dan zullen er 2n rijen zijn.

Volgende vullen we de rest van de waarheidstabel in. Bij langere tabellen kan het gemakkelijker zijn om eerst de kolommen met de zinsletters te kopiëren, zoals dit:

Dan beginnen we te werken binnen de haakjes. Omdat het een scheiding is, zal het waar zijn wanneer ten minste een van Q en R waar zijn, en onwaar wanneer ze beide onwaar zijn.

Nu kunnen we de kolommen onder Q en R negeren. We concentreren ons op P en de kolom onder het scheidingsteken. Voor de duidelijkheid haal ik de andere weg.

Nu vullen we de kolom voor de conjunctie aan. Het is waar als P en Q beide waar zijn.

Uiteindelijk is de kolom die mij echt interesseert die onder het hoofdverbindingslid. Ik zal het vet maken om duidelijk te zijn. Onze volledige waarheidstabel met alle kolommen ziet er als volgt uit:

Merk op dat de kolom van het hoofdverbindingselement een mengeling van T’s en F’s heeft. Dit wordt een contingentie genoemd. Een voorwaardelijke uitspraak is waar op sommige rijen en onwaar op andere. Sommige zinnen zijn waar op alle rijen. Zij worden tautologieën genoemd. Hier volgt een eenvoudig voorbeeld:

Als een zin op elke rij van de tabel een F heeft, is het een contradictie.

Tautologieën kunnen onmogelijk onwaar zijn, contradicties kunnen onmogelijk waar zijn, en contingenties kunnen waar of onwaar zijn.