5.1 Oraciones simples

Antes de poder analizar argumentos con tablas de verdad, necesitamos saber cómo construir tablas de verdad para oraciones simples. Comencemos con una tabla de verdad para la negación. En primer lugar, escriba la fórmula que se va a analizar en la parte superior.

A la izquierda de la fórmula, enumere las letras de la oración simple en orden alfabético. En este caso, sólo tenemos una letra de frase.

Ahora dibuja una línea horizontal debajo de todo eso, y una línea vertical que separe la fórmula de las letras de frase, así:

El siguiente paso es enumerar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las letras de frase simples. En este caso, sólo tenemos una letra, y puede ser verdadera o falsa.

Por último, rellene los valores de verdad de la fórmula para cada línea, dados los valores de verdad de las oraciones simples en esa línea. Dado que la negación sólo cambia el valor de verdad de la oración simple, nuestra tabla de verdad tendrá este aspecto:

Ahora, construyamos una tabla de verdad para una conjunción. De nuevo, escribiremos la fórmula en la parte superior:

Entonces escribiremos la letra de la oración simple a la izquierda, y dibujaremos las líneas.

A continuación, tenemos que escribir todas las posibles combinaciones de valores de verdad de esas letras de la oración simple. En primer lugar, ambas podrían ser verdaderas.

\N

Entonces, \N(P\) podría ser verdadera y \N(Q\) falsa.

Para la siguiente línea, \N(P\) podría ser falsa y \N(Q\) verdadera.

\N

Por último, ambos podrían ser falsos.

\N

Ahora, simplemente completamos el resto. La conjunción es verdadera cuando ambos conjuntos son verdaderos, y falsa en caso contrario, Así, la tabla de verdad completada se ve así.

Aquí está la tabla de verdad para la disyunción. Recuerda que las disyunciones son verdaderas cuando al menos un disyuntor es verdadero, y falso en caso contrario. Por lo tanto, la disyunción sólo es falsa en la línea inferior.

Así es la tabla de verdad del condicional. Los condicionales son falsos siempre que el antecedente es verdadero y la conclusión es falsa, pero son verdaderos en cualquier otro momento.

Por último, aquí está la tabla de verdad del bicondicional. Las bicondicionales son verdaderas siempre que ambos lados tengan el mismo valor de verdad. Esa será la primera línea, donde ambos son verdaderos, y la última línea, donde ambos son falsos.

Hagamos una que es ligeramente más larga. Aquí hay una tabla de verdad para \ ~(P \mathbin{\&} (Q \vee R)\N:

Vamos a escribir la fórmula y las letras de la frase, y a dibujar las líneas.

Se hace más difícil rellenar las combinaciones de valores de verdad para las letras de la frase a medida que las tablas se hacen más grandes. Si se hace una fila entera a la vez, es fácil pasar por alto una combinación. La mejor manera es hacerlo una columna entera a la vez. Empiece por la columna de más a la derecha y alterne las T y las F.

Después, pase a la siguiente columna de la izquierda. Aquí, alterne pares de T’s y pares de F’s.

\

Tal vez usted puede ver el patrón ahora. A continuación, pasaremos a la siguiente columna y pondremos cuatro T y cuatro F.

Nota que tenemos ocho filas. Si hubiera cuatro oraciones simples diferentes, tendríamos dieciséis, treinta y dos para cinco, y así sucesivamente. La fórmula general es ésta: si hay n oraciones simples, entonces habrá 2n filas.

A continuación, rellenamos el resto de la tabla de verdad. Con tablas más largas, puede ser más fácil copiar primero las columnas de las letras de las oraciones, así:

\N

Entonces, empezamos a trabajar dentro de los paréntesis. Como se trata de una disyunción, será verdadera siempre que al menos una de Q y R sean verdaderas, y falsa cuando ambas sean falsas.

Ahora, podemos ignorar las columnas bajo Q y R. Estamos centrados en P y en la columna bajo el símbolo de la disyunción. Para que quede claro, quitaré las demás.

Ahora, completamos la columna de la conjunción. Es verdadera siempre que \(P\) y \(Q \vee R\) sean ambas verdaderas.

En definitiva, la columna que realmente me interesa es la que está debajo de la conectiva principal. La pondré en negrita para que quede claro. Nuestra tabla de verdad completa con todas las columnas tiene el siguiente aspecto:

\Ndebajo de la conectiva principal hay una mezcla de T’s y F’s. Esto se llama contingencia. Esto se llama una contingencia. Una sentencia contingente es verdadera en algunas filas y falsa en otras. Algunas frases son verdaderas en todas las filas. Se llaman tautologías. He aquí un ejemplo sencillo:

Si una oración tiene una F en todas las filas de la tabla, es una contradicción.

Las tautologías no pueden ser falsas, las contradicciones no pueden ser verdaderas, y las contingencias pueden ser verdaderas o falsas.