5.1 Einzelne Sätze

Bevor wir Argumente mit Wahrheitstabellen analysieren können, müssen wir wissen, wie man Wahrheitstabellen für einzelne Sätze konstruiert. Beginnen wir mit einer Wahrheitstabelle für die Negation. Schreiben Sie zunächst die zu analysierende Formel oben hin.

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Listen Sie links von der Formel die Buchstaben der einfachen Sätze in alphabetischer Reihenfolge auf. In diesem Fall haben wir nur einen Satzbuchstaben.

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Ziehe nun eine waagerechte Linie darunter und eine senkrechte Linie, die die Formel von den Satzbuchstaben trennt, etwa so:

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Der nächste Schritt ist die Auflistung aller möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten der einfachen Satzbuchstaben. In diesem Fall haben wir nur einen Buchstaben, der entweder wahr oder falsch sein kann.

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Schließlich tragen Sie die Wahrheitswerte der Formel für jede Zeile ein, wenn die Wahrheitswerte der einfachen Sätze in dieser Zeile gegeben sind. Da die Negation nur den Wahrheitswert des einfachen Satzes ändert, sieht unsere Wahrheitstabelle wie folgt aus:

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Nun wollen wir eine Wahrheitstabelle für eine Konjunktion konstruieren. Auch hier schreiben wir die Formel oben hin:

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Dann schreiben wir den Buchstaben des einfachen Satzes nach links und zeichnen die Linien ein.

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Nun müssen wir alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte dieser Buchstaben des einfachen Satzes aufschreiben. Zuerst könnten sie beide wahr sein.

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Dann könnte \(P\) wahr und \(Q\) falsch sein.

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Für die nächste Zeile könnte \(P\) falsch und \(Q\) wahr sein.

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Zuletzt könnten beide falsch sein.

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Nun füllen wir einfach den Rest aus. Die Konjunktion ist wahr, wenn beide Konjunktionen wahr sind, und ansonsten falsch. Die fertige Wahrheitstabelle sieht also so aus.

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Hier ist die Wahrheitstabelle für die Disjunktion. Erinnern Sie sich, dass Disjunktionen wahr sind, wenn mindestens eine Disjunktion wahr ist, und ansonsten falsch. Die Disjunktion ist also nur in der untersten Zeile falsch.

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So sieht die Wahrheitstabelle für die Bedingung aus. Konditionale sind immer dann falsch, wenn die Vorbedingung wahr und die Schlussfolgerung falsch ist, aber sie sind immer wahr.

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Schließlich ist hier die Wahrheitstabelle für die Bikonditionale. Bikonditionale sind immer dann wahr, wenn beide Seiten den gleichen Wahrheitswert haben. Das ist die erste Zeile, in der sie beide wahr sind, und die letzte Zeile, in der sie beide falsch sind.

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Lassen Sie uns eine etwas längere Tabelle machen. Hier ist eine Wahrheitstabelle für \(P \mathbin{\&} (Q \vee R)\):

Wir schreiben die Formel und die Satzbuchstaben auf und zeichnen die Zeilen.

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Es wird schwieriger, die Kombinationen der Wahrheitswerte für die Satzbuchstaben einzutragen, je größer die Tabellen werden. Wenn man eine ganze Zeile nach der anderen ausfüllt, kann man leicht eine Kombination übersehen. Am besten ist es, wenn man eine ganze Spalte nach der anderen ausfüllt. Beginnen Sie mit der Spalte ganz rechts und wechseln Sie die T’s und F’s ab.

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Dann gehen Sie zur nächsten Spalte nach links. Hier wechseln sich T- und F-Paare ab.

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Vielleicht können Sie jetzt das Muster erkennen. Dann gehen wir in die nächste Spalte und setzen vier T’s und vier F’s.

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Beachte, dass wir acht Zeilen haben. Wenn es vier verschiedene einfache Sätze gäbe, hätten wir sechzehn, zweiunddreißig für fünf und so weiter. Die allgemeine Formel lautet: Wenn es n einfache Sätze gibt, dann gibt es 2n Zeilen.

Nun füllen wir den Rest der Wahrheitstabelle aus. Bei längeren Tabellen kann es einfacher sein, zunächst die Spalten der Satzbuchstaben zu kopieren, etwa so:

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Dann beginnen wir mit der Arbeit innerhalb der Klammern. Da es sich um eine Disjunktion handelt, ist sie wahr, wenn mindestens eines von Q und R wahr ist, und falsch, wenn beide falsch sind.

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Jetzt können wir die Spalten unter Q und R ignorieren. Wir konzentrieren uns auf P und die Spalte unter dem Disjunktionssymbol. Der Übersichtlichkeit halber lasse ich die anderen weg.

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Nun vervollständigen wir die Spalte für die Konjunktion. Sie ist wahr, wenn \(P\) und \(Q \vee R\) beide wahr sind.

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Die Spalte, die mich wirklich interessiert, ist die Spalte unter dem Hauptkonnektiv. Ich mache sie fett, damit sie klar ist. Unsere vollständige Wahrheitstabelle mit allen Spalten sieht wie folgt aus:

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Beachte, dass die Spalte des Hauptkonnektivs eine Mischung aus T’s und F’s hat. Dies nennt man eine Kontingenz. Eine Kontingenzaussage ist in einigen Zeilen wahr und in anderen falsch. Einige Sätze sind in allen Zeilen wahr. Sie werden Tautologien genannt. Hier ein einfaches Beispiel:

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Wenn ein Satz in jeder Zeile der Tabelle ein F hat, ist er ein Widerspruch.

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Tautologien können unmöglich falsch sein, Widersprüche können unmöglich wahr sein, und Kontingenzen können wahr oder falsch sein.