5.1 Propoziții simple

Pentru a putea analiza argumente cu ajutorul tabelelor de adevăr, trebuie să știm cum să construim tabele de adevăr pentru propoziții simple. Să începem cu un tabel de adevăr pentru negație. Mai întâi, scrieți în partea de sus formula care urmează să fie analizată.

\

În stânga formulei, enumerați literele propoziției simple în ordine alfabetică. În acest caz, avem doar o singură literă de propoziție.

\

Desenați apoi o linie orizontală sub toate acestea și o linie verticală care să despartă formula de literele de propoziție, astfel:

\

Următorul pas este să enumerați toate combinațiile posibile de valori de adevăr ale literelor de propoziție simplă. În acest caz, avem doar o singură literă și poate fi fie adevărată, fie falsă.

\

În cele din urmă, completați valorile de adevăr ale formulei pentru fiecare linie, având în vedere valorile de adevăr ale propozițiilor simple de pe acea linie. Deoarece negația doar schimbă valoarea de adevăr a propoziției simple, tabelul nostru de adevăr va arăta astfel:

\

Acum, să construim un tabel de adevăr pentru o conjuncție. Din nou, vom scrie formula în partea de sus:

\

Apoi vom scrie litera propoziției simple în stânga și vom trasa liniile.

\

În continuare, trebuie să scriem toate diferitele combinații posibile ale valorilor de adevăr ale acelor litere ale propoziției simple. În primul rând, ambele ar putea fi adevărate.

\

Apoi, \(P\) ar putea fi adevărată și \(Q\) falsă.

\

Pentru următoarea linie, \(P\) ar putea fi falsă și \(Q\) adevărată.

\

În cele din urmă, ambele ar putea fi false.

\

Acum, trebuie doar să completăm restul. Conjuncția este adevărată atunci când ambele conjuncții sunt adevărate și falsă în caz contrar, Deci, tabelul de adevăr completat arată astfel.

\

Iată tabelul de adevăr pentru disjuncție. Amintiți-vă că disjuncțiile sunt adevărate atunci când cel puțin o disjuncție este adevărată, iar în caz contrar sunt false. Deci, disjuncția este falsă doar pe linia de jos.

\

Acesta este modul în care arată tabelul de adevăr pentru condițional. Condiționalele sunt false ori de câte ori antecedentul este adevărat și concluzia este falsă, dar sunt adevărate în orice alt moment.

\

În sfârșit, iată tabelul adevărului pentru bicondițional. Bicondiționalele sunt adevărate ori de câte ori ambele părți au aceeași valoare de adevăr. Aceasta va fi prima linie, unde ambele sunt adevărate, și ultima linie, unde ambele sunt false.

\

Să facem una care este puțin mai lungă. Iată o tabelă de adevăr pentru \(P \mathbin{\&}}. (Q \vee R)\):

Vom continua, vom scrie formula și literele propoziției și vom trasa liniile.

\

Este din ce în ce mai dificil să completăm combinațiile de valori de adevăr pentru literele propoziției pe măsură ce tabelele devin mai mari. Făcut câte un rând întreg pe rând, este ușor să ratezi o combinație. Cea mai bună metodă este să se facă o coloană întreagă la un moment dat. Începeți cu cea mai din dreapta coloană și alternați T-urile și F-urile.

\

Apoi, treceți la următoarea coloană din stânga. Aici, alternați perechile de T-uri și perechile de F-uri.

\

Poate că acum puteți vedea tiparul. Vom trece apoi la următoarea coloană și vom pune patru T-uri și patru F-uri.

\

Observați că avem opt rânduri. Dacă ar fi vorba de patru propoziții simple diferite, am avea șaisprezece, treizeci și două pentru cinci și așa mai departe. Formula generală este următoarea: dacă există n propoziții simple, atunci vor exista 2n rânduri.

În continuare, completăm restul tabelului adevărului. În cazul tabelelor mai lungi, poate fi mai ușor să copiem mai întâi coloanele literelor propozițiilor, astfel:

\

Apoi, începem să lucrăm în interiorul parantezelor. Deoarece este o disjuncție, va fi adevărată ori de câte ori cel puțin una dintre Q și R sunt adevărate, și falsă atunci când ambele sunt false.

\

Acum, putem ignora coloanele de sub Q și R. Ne concentrăm pe P și pe coloana de sub simbolul disjuncției. Pentru a fi mai clar, le voi elimina pe celelalte.

\

Acum, completăm coloana pentru conjuncție. Este adevărată ori de câte ori \(P\) și \(Q \vee R\) sunt ambele adevărate.

În cele din urmă, coloana care mă interesează cu adevărat este cea de sub conjunctivul principal. O voi scrie cu bold pentru a fi clar. Tabelul nostru de adevăr complet, cu toate coloanele, arată astfel:

\

Rețineți că coloana de sub conectivul principal are un amestec de T-uri și F-uri. Aceasta se numește o contingență. Un enunț contingent este adevărat pe unele rânduri și fals pe altele. Unele propoziții sunt adevărate pe toate rândurile. Acestea se numesc tautologii. Iată un exemplu simplu:

Dacă o propoziție are un F pe fiecare rând al tabelului, este o contradicție.

Tautologiile nu au cum să fie false, contradicțiile nu au cum să fie adevărate, iar contingențele pot fi adevărate sau false.

.