5.1 Enstaka meningar

För att kunna analysera argument med hjälp av sanningstabeller måste vi veta hur man konstruerar sanningstabeller för enskilda meningar. Låt oss börja med en sanningstabell för negationen. Skriv först formeln som ska analyseras högst upp.

\

Till vänster om formeln listar du bokstäverna för den enkla meningen i alfabetisk ordning. I det här fallet har vi bara en satsbokstav.

Rita nu en horisontell linje under allt detta och en vertikal linje som skiljer formeln från satsbokstäverna, så här:

Nästa steg är att räkna upp alla möjliga kombinationer av sanningsvärden för de enkla satsbokstäverna. I det här fallet har vi bara en bokstav, och den kan vara antingen sann eller falsk.

\

Slutligt fyller du i formelns sanningsvärden för varje rad, givet sanningsvärdena för de enkla meningarna på den raden. Eftersom negationen bara ändrar sanningsvärdet för den enkla meningen kommer vår sanningstabell att se ut så här:

Nu ska vi konstruera en sanningstabell för en konjunktion. Återigen skriver vi formeln överst:

\

Vi skriver sedan den enkla satsens bokstav till vänster och drar linjerna.

\

Nästan måste vi skriva alla de olika möjliga kombinationerna av sanningsvärdena för dessa enkla satsbokstäver. Först kan de båda vara sanna.

Därefter kan \(P\) vara sant och \(Q\) falskt.

För nästa rad kan \(P\) vara falskt och \(Q\) vara sant.

\

Sist kan de båda vara falska.

\

Nu fyller vi bara i resten. Konjunktionen är sann när båda konjunktionerna är sanna, och falsk annars, så den färdiga sanningstabellen ser ut så här.

Här är sanningstabellen för disjunktionen. Kom ihåg att disjunktioner är sanna när minst en disjunktion är sann, och falska annars. Så disjunktionen är bara falsk på den nedre raden.

\

Här ser sanningstabellen för villkoret ut. Konditionaler är falska när antecedenten är sann och slutsatsen är falsk, men de är sanna alla andra gånger.

Till sist, här är sanningstabellen för bikonditionalen. Bikonditioner är sanna när båda sidorna har samma sanningsvärde. Det blir den första raden, där båda är sanna, och den sista raden, där båda är falska.

Vi gör en som är lite längre. Här är en sanningstabell för \(P \mathbin{\

Vi går vidare och skriver formeln och satsbokstäverna och drar linjerna.

\

Det blir svårare att fylla i kombinationerna av sanningsvärden för satsbokstäverna när tabellerna blir större. Om man gör en hel rad i taget är det lätt att missa en kombination. Det bästa sättet är att göra det en hel kolumn i taget. Börja med kolumnen längst till höger och växla mellan T och F.

\

Därefter går du vidare till nästa kolumn till vänster. Här alternerar du par av T och par av F.

Kanske du kan se mönstret nu. Vi går sedan till nästa kolumn och sätter fyra T:n och fyra F:n.

Observera att vi har åtta rader. Om det fanns fyra olika enkla meningar skulle vi ha sexton, trettiotvå för fem och så vidare. Den allmänna formeln är denna: om det finns n enkla meningar kommer det att finnas 2n rader.

Nästan fyller vi i resten av sanningstabellen. Med längre tabeller kan det vara lättare att först kopiera kolumnerna med satsbokstäverna, så här:

\

Därefter börjar vi arbeta inom parenteserna. Eftersom det är en disjunktion kommer den att vara sann när minst en av Q och R är sann, och falsk när båda är falska.

\6064>

Nu kan vi ignorera kolumnerna under Q och R. Vi fokuserar på P och kolumnen under disjunktionssymbolen. För att göra det tydligt tar jag bort de andra.

\

Nu kompletterar vi kolumnen för konjunktionen. Den är sann när \(P\) och \(Q \vee R\) båda är sanna.

Sluttningsvis är kolumnen som jag egentligen är intresserad av den under huvudkonjunktionen. Jag gör den fet för att vara tydlig. Vår fullständiga sanningstabell med alla kolumner ser ut så här:

\

Bemärk att kolumnen under huvudkonnektivet har en blandning av T:n och F:n. Detta kallas för en tillfällighet. Ett kontingent påstående är sant på vissa rader och falskt på andra. Vissa meningar är sanna på alla rader. De kallas tautologier. Här är ett enkelt exempel:

\

Om en mening har ett F på alla rader i tabellen är den en motsägelse.

Tautologier kan omöjligen vara falska, motsägelser kan omöjligen vara sanna och kontingenssatser kan vara sanna eller falska.