5.1 Zdania pojedyncze

Zanim będziemy mogli analizować argumenty za pomocą tablic prawdy, musimy wiedzieć, jak konstruować tablice prawdy dla zdań pojedynczych. Zacznijmy od tabeli prawdy dla negacji. Po pierwsze, na górze napisz formułę, która ma być analizowana.

Po lewej stronie formuły wypisz litery zdań prostych w porządku alfabetycznym. W tym przypadku mamy tylko jedną literę zdaniową.

Narysuj poziomą linię pod tym wszystkim, oraz pionową linię oddzielającą formułę od liter zdaniowych, w ten sposób:

Kolejnym krokiem jest wypisanie wszystkich możliwych kombinacji wartości prawdziwościowych prostych liter zdaniowych. W tym przypadku mamy tylko jedną literę i może to być prawda lub fałsz.

Na koniec wypełnij wartości prawdy formuły dla każdej linii, biorąc pod uwagę wartości prawdy zdań prostych w tej linii. Ponieważ negacja po prostu zmienia wartość prawdy zdania prostego, nasza tabela prawdy będzie wyglądać następująco:

Teraz skonstruujmy tabelę prawdy dla koniunkcji. Ponownie, napiszemy formułę na górze:

Następnie napiszemy literę zdania prostego po lewej stronie i narysujemy linie.

Następnie, musimy napisać wszystkie możliwe kombinacje wartości prawdy tych liter zdania prostego. Po pierwsze, obie mogą być prawdziwe.

Następnie, \(P\) może być prawdziwe, a \(Q\) fałszywe.

Dla następnej linii, \(P\) może być fałszywe, a \(Q\) prawdziwe.

Na koniec, obie mogą być fałszywe.

Teraz po prostu wypełniamy resztę. Koniunkcja jest prawdziwa, gdy obie koniunkcje są prawdziwe, i fałszywa w przeciwnym wypadku, Więc, wypełniona tabela prawdy wygląda tak.

Tutaj jest tabela prawdy dla dysjunkcji. Pamiętaj, że disjunkcje są prawdziwe, gdy co najmniej jedno disjunct jest prawdziwe, i fałszywe w przeciwnym razie. Tak więc, spójnik jest fałszywy tylko w dolnej linii.

Tak wygląda tabela prawdy dla warunku. Warunkowość jest fałszywa zawsze, gdy poprzednik jest prawdziwy, a wniosek fałszywy, ale jest prawdziwa w każdym innym przypadku.

Na koniec, oto tabela prawdy dla dwuwarunkowości biconditional. Dwuwarunkowość jest prawdziwa zawsze, gdy obie strony mają tę samą wartość prawdy. To będzie pierwsza linia, gdzie obie są prawdziwe, i ostatnia linia, gdzie obie są fałszywe.

Zróbmy jedną, która jest nieco dłuższa. Oto tablica prawdy dla \(P \mathbin{\&} (Q \vee R \):

Pójdziemy dalej, napiszemy formułę i litery zdań, i narysujemy linie.

W miarę jak tabele stają się coraz większe, coraz trudniej jest wypełnić kombinacje wartości prawdy dla liter zdań. Robiąc jeden cały rząd na raz, łatwo jest przegapić kombinację. Najlepszym sposobem jest zrobienie tego całą kolumnę na raz. Zacznij od kolumny najbardziej wysuniętej na prawo, na przemian T i F.

Następnie przejdź do następnej kolumny po lewej stronie. Tutaj, na przemian pary T i pary F.

Może teraz widzisz wzór. Następnie przejdziemy do następnej kolumny i umieścimy cztery T i cztery F.

Zauważ, że mamy osiem rzędów. Jeśli byłyby cztery różne zdania proste, mielibyśmy szesnaście, trzydzieści dwa dla pięciu, i tak dalej. Ogólna formuła jest taka: jeśli jest n zdań prostych, to będzie 2n wierszy.

Następnie wypełniamy resztę tabeli prawdy. W przypadku dłuższych tabel łatwiej jest najpierw skopiować kolumny z literami zdań, na przykład w następujący sposób:

Następnie zaczynamy pracę wewnątrz nawiasów. Ponieważ jest to spójnik, będzie on prawdziwy, gdy przynajmniej jedno z Q i R jest prawdziwe, a fałszywy, gdy oba są fałszywe.

Teraz możemy zignorować kolumny pod Q i R. Skupiamy się na P i kolumnie pod symbolem spójnika. Aby było jasne, usunę pozostałe.

Teraz uzupełniamy kolumnę dla koniunkcji. Jest ona prawdziwa zawsze, gdy zarówno P, jak i Q są prawdziwe.

Ostatecznie, kolumna, która mnie naprawdę interesuje, to ta pod głównym spójnikiem. Pogrubię ją, żeby było jasne. Nasza kompletna tabela prawdy ze wszystkimi kolumnami wygląda następująco:

Zauważ, że kolumna głównego łącznika zawiera mieszaninę T i F. Nazywa się to warunkowością. To się nazywa stwierdzenie warunkowe. Zdanie warunkowe jest prawdziwe w niektórych rzędach i fałszywe w innych. Niektóre zdania są prawdziwe we wszystkich rzędach. Są one nazywane tautologiami. Oto prosty przykład:

Jeśli zdanie ma F w każdym wierszu tabeli, to jest to sprzeczność.

Tautologie nie mogą być fałszywe, sprzeczności nie mogą być prawdziwe, a twierdzenia warunkowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

.